ar X iv : m at h / 06 04 13 2 v 2 [ m at h . A P ] 8 N ov 2 00 6 BIRKHOFF NORMAL FORM AND HAMILTONIAN

— These notes are based on lectures held at the Lanzhou university (China) during a CIMPA summer school in july 2004 but benefit from recent devellopements. Our aim is to explain some normal form technics that allow to study the long time behaviour of the solutions of Hamiltonian perturbations of integrable systems. We are in particular interested with stability results. Our approach is centered on the Birkhoff normal form theorem that we first proved in finite dimension. Then, after giving some exemples of Hamiltonian PDEs, we present an abstract Birkhoff normal form theorem in infinite dimension and discuss the dynamical consequences for Hamiltonian PDEs. Résumé (Forme normale de Birkhoff et EDP Hamiltoniènnes) Ces notes sont basées sur un cours donné à l’université de Lanzhou (Chine) durant le mois de juillet 2004 dans le cadre d’une école d’été organisée par le CIMPA. Cette rédaction bénéficie aussi de développements plus récents. Le but est d’expliquer certaines techniques de forme normale qui permettent d’étudier le comportement pour des temps longs des solutions de perturbations Hamiltoniènnes de systèmes intégrables. Nous sommes en particulier intéressés par des résultats de stabilité. Notre approche est centrée sur le théorème de forme normale de Birkhoff que nous rappelons et démontrons d’abord en dimension finie. Ensuite, après avoir donné quelques exemples d’EDP Hamiltoniènnes, nous démontrons un théorème de forme normale de Birkhoff en dimension infinie et nous en discutons les applications à la dynamique des EDP Hamiltoniènnes.